(FCC – 2012 – MPPE – ANALISTA MINISTERIAL – AREA JUDICIÁRIA) Em fevereiro de 2012, quatro irmãos, todos nascidos em janeiro, respectivamente nos anos de 1999, 1995, 1993 e 1989, se reuniram para abrir o testamento do pai que havia morrido pouco antes. Estavam ansiosos para repartir a herança de R$ 85.215,00. O texto do testamento dizia que a herança seria destinada apenas para os filhos cuja idade, em anos completos e na data da leitura do testamento, fosse um número divisor do valor da herança. Os filhos que satisfizessem essa condição deveriam dividir igualmente o valor herdado. O que cada filho herdeiro recebeu foi

(A) 0,00

(B) 21.303,75

(C) 42.607,50

(D) 28.405,00

(E) 85.215,00

RESOLUÇÃO:

Os 4 filhos nasceram em janeiro de anos diferentes, e o testamento foi aberto em fevereiro de 2012. Então é fácil afirmar que todos os filhos já fizeram aniversário, sendo o resultado da subtração de 2012 com o ano de nascimento de cada um a idade respectiva:

Filho A: 2012 – 1999 = 13 anos

Filho B: 2012 – 1995 = 17 anos

Filho C: 2012 – 1993 = 19 anos

Filho D: 2012 – 1989 = 23 anos

Dividindo-se o montante a ser recebido pela idade, saberemos qual o filho que irá receber a herança:

A = 85.215,00 : 13 = 6.555

B = 85.215,00 : 17 = 5.012,647

C = 85.215,00 : 19 = 4.485

D = 85.215,00 : 23 = 3.705

Então temos que a herança será dividida por 3 dos filhos: A, C e D

Dividindo então 85.215,00 por 3 temos: 28.405,00

RESPOSTA: LETRA D

Cedido pelo professor Bruno Casimiro

Vocês têm razão sobre o conteúdo pedido em lógica.  Parece que fala, fala e nada diz!  Mas é o seguinte: Lógica Proposicional: Pode ser cobrado todo o conteúdo, portanto o candidato deve estudar o conceito de proposições, tabela-verdade, conectivos lógicos, classificação das proposições (Tautologia, Contradição e Contingência), proposições equivalentes, diagramas lógicos e lógica de argumentação.

Um grande abraço, sempre à disposição e fiquem com Deus,

Jairo Teixeira

1- (CESPE/PREVIC 2011) Considere o diagrama abaixo.

Esse diagrama é uma prova de que o argumento a seguir é válido, ou seja, as proposições I e II são premissas e a proposição III é uma conclusão, pois é verdadeira por consequência das premissas.

I Nenhum analista administrativo é dançarino.

II Todos os dançarinos são ágeis.

III Logo, nenhum analista administrativo é ágil.

Vamos fazer um diagrama para cada hipótese:

I Nenhum analista administrativo é dançarino.

II-Todos os dançarinos são ágeis.

Com essas conclusões é possível que o conjunto (balão) analista administrativo esteja em qualquer lugar, portanto é possível que não tenha nada em comum com o conjunto dos dançarinos, assim, nada impede de termos um diagrama desta forma:

Ou seja, existindo pelo menos um analista administrativo ágil, assim o sendo a questão está ERRADA. Perceba que a questão, ao mostra uma das possibilidades de montagem do diagrama induz o candidato ao erro, não caia nessa.

Material cedido pelo professor auxiliar Fernando  Medeiros

1-(CESGRANRIO – 2011 – TRANSPETRO – Analista de Sistemas Júnior) Parte superior do formulário

A contrapositiva de uma proposição condicional é uma tautologia.

Porque

A tabela verdade de uma proposição condicional é idêntica à de sua contrapositiva.

Analisando-se as afirmações acima, conclui-se que

a) as duas afirmações são verdadeiras, e a segunda justifica a primeira.
b) as duas afirmações são verdadeiras, e a segunda não justifica a primeira.
c) a primeira afirmação é verdadeira, e a segunda é falsa.
d) a primeira afirmação é falsa, e a segunda é verdadeira.
e) as duas afirmações são falsas.

SOLUÇÃO – O ponto chave da resolução desta questão encontra-se no conceito da contrapositiva de uma proposição condicional, vejamos então, revisando alguns conceitos:

(contrária) A -> B   Tem como “proposição contrária”   ¬A->¬B

Leia-se “Se A então B” tem como proposição contrária “Não A então não B”

Ex:  (Condicional) Se estudou então vai passar!
(Contrária) Se não estudou então não vai passar!

(recíproca) A -> B   Tem como “proposição recíproca”   B -> A

Leia-se “Se A então B” tem como proposição recíproca  “B então A”

Ex:  (Condicional) Se estudou então vai passar!
(Recíproca) Se passar então estudou!

Contra-Positiva A-> B   Tem como “proposição contra-positiva”   ¬B->¬A

Leia-se “Se A então B” tem como proposição contra-positiva “¬B então ¬A”

Ex:  (Condicional) Se estudou então vai passar!
(contra-positiva) Se não passar então não estudou!

A contra-positiva é bastante especial,  já que é uma equivalência lógica com a condicional, vejamos as tabelas-verdade:

Veja que os valores lógicos de “A->B e ¬B->¬A” são iguais, com isso, configura-se a equivalência lógica.

Esta informação é muito importante, bom parte das questões podem ser solucionadas com ela, atrevo-me a dizer que 70¢ das questões de lógica, direta ou indiretamente usam a contra-positiva.

Voltemos às questões:

“A contra-positiva de uma proposição condicional é uma tautologia.”

FALSO, basta olhar para tabela-verdade acima, se a contra-positiva fosse uma tautologia então todas  as suas combinações de resultado seriam verdadeiras. Como é possível ver, a segunda linha da tabela verdade é falsa.

“A tabela verdade de uma proposição condicional é idêntica à de sua contra-positiva”

VERDADE, basta, mais uma vez, olhar para a tabela-verdade.

Resposta, portanto, LETRA D

2- (CESGRANRIO – 2011 – TRANSPETRO – Analista de Sistemas Júnior) Deseja-se identificar cinco vagas de um estacionamento para uso da diretoria de uma empresa, cada uma com uma cor. Entretanto, há restrições: as vagas estão dispostas linearmente e são adjacentes, só há três cores diferentes no almoxarifado e duas vagas consecutivas não podem ter a mesma cor.
De quantas maneiras essa identificação é possível?

a) 15

b) 32

c) 48

d) 125

e) 243

SOLUÇÃO: Atente-se ao assunto análise combinatória, pois, apesar de não ser lógica propriamente dita, a analise combinatória vem sendo cobrada nos editais de rac. Lógico e quando isso acontece, pode ter certeza de que é uma questão certa em sai prova. A figura abaixo ajuda a visualizar a questão:

Vejamos as restrições:

1 – Só há 3 cores.

2 – Não pode ter duas vagas adjacentes com cores idênticas.

Iremos desta forma preencher a primeira vaga com uma cor, temos, portanto 3 opções.

Ao preencher a segunda vaga, note que há apenas duas opções de cores, pois não pode ser a cor já usada na primeira  vaga.

Ao preencher a terceira vaga, note que há apenas duas opções de cores, pois não pode ser a cor já usada na segunda  vaga.

Ao preencher a quarta vaga, note que há apenas duas opções de cores, pois não pode ser a cor já usada na terceira  vaga.

Ao preencher a quinta vaga, note que há apenas duas opções de cores, pois não pode ser a cor já usada na quarta  vaga.

Com isso, aplica-se o princípio multiplicativo, assim:

3x2x2x2x2 = 48, PORTANTO “LETRA C”.

3- (CESGRANRIO – 2011 – TRANSPETRO – Analista de Sistemas Júnior) Negar a afirmação “o leão não é feroz e a girafa não gorjeia” equivale a afirmar que

a) se o leão não é feroz, então a girafa gorjeia.

b) se a girafa não gorjeia, então o leão não é feroz.

c) o leão é feroz, e a girafa gorjeia.

d) o leão não é feroz ou a girafa gorjeia.

e) o leão é feroz ou a girafa não gorjeia.

Vejamos com o auxílio da tabela-verdade:

P:  O leão é Feroz.

Q: A girafa Gorjeia

LETRA “A”

É nossa resposta.

Tivemos sorte de encontrar a resposta na letra “A”, mas perceba que não é tão difícil analisar as demais resposta, já que a única coluna que se modificará é a última, mesmo assim, você ainda tem a visualização das demais colunas facilitando o processo de resolução, basta organiza-se na prova. Veja a letra “B”. Apenas a título de informação.

LETRA ” B”

4- (CESGRANRIO – 2011 – TRANSPETRO – Analista de Sistemas Júnior)

1. I) Se beber, então não dirija.
   II) Se dirigir, então não beba.
   III) Se não beber, então dirija.
   IV) Se não dirigir, então beba.
   V) Dirija se e somente se não beber.

   Analisando-se as afirmações acima, quanto à equivalência lógica entre elas, NÃO se pode afirmar que

a) (I) e (II) são equivalentes e (III) e (IV) são equivalentes.

b) (III), (IV) e (V) são equivalentes ou (I) e (II) são equivalentes.

c) Se (I) e (III) forem equivalentes, então (IV) e (V) são equivalentes.

d) Se (I) e (IV) são equivalentes, então (II) e (III) são equivalentes.

e) Se (I) e (II) são equivalentes, então (III), (IV) e (V) são equivalentes.

SOLUÇÃO:

Vamos fazer esta questão, não em forma de revisão, analisando-a como se na prova estivéssemos.

I) Se beber, então não dirija.  (Condicional)
II) Se dirigir, então não beba. (Contra-Positiva de I)

( I e II) São equivalentes.

III) Se não beber, então dirija.
IV) Se não dirigir, então beba. (Contra-Positiva de III)
( III e IV) São equivalentes.

a) (I) e (II) são equivalentes e (III) e (IV) são equivalentes.

Correto, conforme conclusão acima.

b) (III), (IV) e (V) são equivalentes ou (I) e (II) são equivalentes.

Correto, se ( I e II) São equivalentes então é verdade que (III), (IV) e (V) são equivalentes ou (I) e (II) são equivalentes.

c) Se (I) e (III) forem equivalentes, então (IV) e (V) são equivalentes.

Correto, (I e III) Não são equivalentes, então a proposição está correta, uma vez que a condicional é sempre verdadeira quando a primeira proposição é falsa.

d) Se (I) e (IV) são equivalentes, então (II) e (III) são equivalentes.

Correto, (I e IV) Não são equivalentes, então a proposição está correta, uma vez que a condicional é sempre verdadeira quando a primeira proposição é falsa.

e) Se (I) e (II) são equivalentes, então (III), (IV) e (V) são equivalentes.

Falso, pois (I e II) são equivalentes e (III ,IV, V) não são.

Para melhor visualização da questão, e, respondendo-a de forma mais completa, segue a tabela verdade:

P: Beber

Q: Dirigir

Questões sem comentários:

1- (CESGRANRIO – 2011 – TRANSPETRO – Analista de Sistemas Júnior)Parte superior do formulário

A contrapositiva de uma proposição condicional é uma tautologia.

Porque

A tabela verdade de uma proposição condicional é idêntica à de sua contrapositiva.

Analisando-se as afirmações acima, conclui-se que

a)   as duas afirmações são verdadeiras, e a segunda justifica a primeira.
b) as duas afirmações são verdadeiras, e a segunda não justifica a primeira.
c) a primeira afirmação é verdadeira, e a segunda é falsa.
d) a primeira afirmação é falsa, e a segunda é verdadeira.
e) as duas afirmações são falsas.

2-(CESGRANRIO – 2011 – TRANSPETRO – Analista de Sistemas Júnior) Deseja-se identificar cinco vagas de um estacionamento para uso da diretoria de uma empresa, cada uma com uma cor. Entretanto, há restrições: as vagas estão dispostas linearmente e são adjacentes, só há três cores diferentes no almoxarifado e duas vagas consecutivas não podem ter a mesma cor.
De quantas maneiras essa identificação é possível?

a) 15

b) 32

c) 48

d) 125

e) 243

3- (CESGRANRIO – 2011 – TRANSPETRO – Analista de Sistemas Júnior) Negar a afirmação “o leão não é feroz e a girafa não gorjeia” equivale a afirmar que

a) se o leão não é feroz, então a girafa gorjeia.

b) se a girafa não gorjeia, então o leão não é feroz.

c) o leão é feroz, e a girafa gorjeia.

d) o leão não é feroz ou a girafa gorjeia.

e) o leão é feroz ou a girafa não gorjeia.

4- (CESGRANRIO – 2011 – TRANSPETRO – Analista de Sistemas Júnior)

1. I) Se beber, então não dirija.
   II) Se dirigir, então não beba.
   III) Se não beber, então dirija.
   IV) Se não dirigir, então beba.
   V) Dirija se e somente se não beber.

   Analisando-se as afirmações acima, quanto à equivalência lógica entre elas, NÃO se pode afirmar que

a) (I) e (II) são equivalentes e (III) e (IV) são equivalentes.

b) (III), (IV) e (V) são equivalentes ou (I) e (II) são equivalentes.

c) Se (I) e (III) forem equivalentes, então (IV) e (V) são equivalentes.

d) Se (I) e (IV) são equivalentes, então (II) e (III) são equivalentes.

e) Se (I) e (II) são equivalentes, então (III), (IV) e (V) são equivalentes.

Material cedido pelo professor auxiliar Fernando Medeiros

Lógica Proposicional

Proposição Simples e Composta, Argumentação lógica – Premissas e Conclusão, Tautologia e Contradição.

1.   Definições:

Nesta parte do curso, traremos algumas definições, que ajudará o desenvolvimento da matéria, são poucas as questões de concursos que abordam esta parte teórica. Uma vez que as provas de Raciocínio- Lógico, não cobrando explicitamente esta parte conceitual. Não obstante, para a melhor compreensão de raciocínio lógico, faz-se necessário entender bem os conceitos que serão apresentados a seguir.

1.1. Proposições.

É  todo conjunto de pensamento, que possa ser classificado como verdadeiro ou falso.

A preposição exprime juízo, afirma fatos. Há uma divergência enorme sobre o conceito de um proposição, não obstante, as bancas tem adotado um núcleo comum, e único, que caracteriza o conceito de proposição é a existência de um valor lógico.

Assim, para que uma expressão de pensamento possa ser caracterizada como proposição faz-se necessário a atribuição de um valor lógico, isto é, tem que ser verdadeira ou falsa, por exemplo.

(a) O Espaço Jurídico é um curso preparatório pra concursos de excelência.

(b) O Naútico é o único hexa campeão Pernambucano.

(c) Recife é a capital de Pernambuco.

Existem assertivas que não podem ser valoradas como verdadeiras ou falsas. Por exemplo:

(a) x+1 = 2

Como x pode ser qualquer valor, não é possível dizer se esta assertiva é verdadeira ou falsa.

Dentro de um texto da questão do concurso TRT – 21ª Região (RN) – Técnico Judiciário – Tecnologia da Informação 2010 o CESPE define proposição:

“Proposições são sentenças que podem ser julgadas como
verdadeiras — V — ou falsas — F —, de forma que um julgamento
exclui o outro, e são simbolizadas por letras maiúsculas, como
P, Q, R etc.”

Em concurso, apesar de pouco provável, este assunto pode cair da seguinte maneira:

(Banco do Brasil – 2008 CESPE)  A frase “Quanto subiu o percentual de mulheres assalariadas nos últimos 10 anos?” não pode ser considerada uma proposição.

R – A frase é um sentença aberta, não pode ser valorada como verdadeiro ou falso, e por isso, não é proposição.  Gabarito: CERTO.

1.2 Proposições Simples e Compostas.

Chama-se proposição simples aquela em que, em sua estrutura, não comporta mais de uma proposição.

Chama-se proposição composta aquela que, em sua estrutura, comporta mais de uma proposição.

Por exemplo:

(a)           Lógica é um excelente disciplina ou Etelvino não é aprovado no concurso público.

(b)           Se o sol é amarelo então o céu é lindo.

Observe que cada caso a proposição é formada a partir de outras duas, analisemos o exemplo (a).

p: Lógica é uma excelente disciplina.

q: Etelvino não é aprovado no concurso público.

Perceba que existem duas proposições(simples) que se resumem na seguinte  proposição (composta):

P: p ou q

1.2.1 Conectivos

Conectivos são as palavras usadas para criar novas proposições a partir das proposições simples. Vejamos os conectivos explorados nos concursos.

(a) …. Ou …. (Disjunção)

(b) Ou … Ou (Disjunção Exclusiva)

(c) Não … (Negação)

(d)…. E …. (Conjunção)

(e)  Se … Então… (Condicional)

(f)  …. Se e Somente Se … (Bi-condicional)

Essas conjunções serão minuciosamente detalhadas a diante, em aulas futuras. Por enquanto, basta ter em mente que elas sevem para ligar proposições simples, formando proposições compostas.

1.3   O Argumento: Premissas e Conclusão

Para compreender o que é um argumento vamos começar por ver o seguinte exemplo:

João — Este quadro é horrível! É só traços e cores! Até eu fazia isto!

Adriana — Concordo que não é muito bonito, mas nem toda a arte tem de ser bela.

João — Não sei… por que razão dizes isso?

Adriana — Porque nem tudo o que os artistas fazem é belo.

João — E depois? É claro que nem tudo o que os artistas fazem é belo, mas daí não se segue nada.

Adriana — Claro que se segue! Dado que tudo o que os artistas fazem é arte, segue-se que nem toda a arte tem de ser bela.

A Arte de Pensar

A Adriana está a argumentar que nem toda a arte é bela. Estamos perante um argumento sempre que alguém apresenta um conjunto de razões a favor de uma idéia.

Um argumento é um conjunto de proposições em que se pretende que uma delas (a conclusão) seja apoiada pelas outras (as premissas).

O argumento da Adriana percebe-se melhor se o escrevermos assim:

Premissa 1: Nem tudo o que os artistas fazem é belo.

Premissa 2: Tudo o que os artistas fazem é arte

Conclusão: Nem toda a arte é bela.

O argumento da Adriana tem duas premissas e uma conclusão. Mas os argumentos podem ter apenas uma premissa, ou mais de duas; contudo, só podem ter uma conclusão.

O argumento, portanto, é o todo, o conjunto de premissas e conclusões.

Premissas são proposições que são verdadeiras e a partir delas é possível chegar a uma conclusão.

A conclusão é uma proposição, criada a partir da analise das premissas, que, com base em equivalências lógicas, são verdadeiras.

É possível cair em concursos questões da seguinte maneira:

(CESPE – 2010 – TRT – 21ª Região (RN) – Analista Judiciário – Área Administrativa) O sustentáculo da democracia é que todos têm o direito de votar e de apresentar a sua candidatura. Mas, enganoso é o coração do homem. Falhas administrativas e maior tempo no poder andam de mãos dadas. Por isso, todos precisam ser fiscalizados. E a alternância no poder é imprescindível. Considerando o argumento citado, julgue os itens subsequentes.

1.   A afirmação “E a alternância no poder é imprescindível” é uma premissa desse argumento.

2.   A sentença “Falhas administrativas e maior tempo no poder andam de mãos dadas” é uma premissa desse argumento.

Premissa: “Falhas administrativas e maior tempo no poder andam de mãos dadas.”

Conclusão: “E a alternância no poder é imprescindível.”

O elaborador da questão quer “apenas” a divisão conceitual sobre argumentos, premissas e conclusão.

Veja que o que fundamenta a frase: “E a alternância no poder é imprescindível.”  é a frase “Falhas administrativas e maior tempo no poder andam de mãos dadas.”.

Com isso, conclui-se que o gabarito é ERRADO/CERTO.

1.4   Tautologias, Contradições e Contingências.

Tautologia é uma proposição verdadeira para todas as possíveis valoração de suas variáveis proposicionais. Isto é, independentemente do valor lógico das proposições simples que compõe a proposição composta, esta será sempre verdadeira, vejamos um exemplo.

“Vou ao cinema no final de semana ou não vou ao cinema este final de semana. “

Imagine que eu diga isso a minha namorada, analisemos se falei a verdade ou não a ela.

1 – Caso, eu fui ao cinema. Eu disse a verdade!!!

2 – Caso, eu não fui ao cinema. Eu disse a verdade!!!

De forma simplificada, tautologia é uma proposição que é sempre verdadeira.

Contradição é uma proposição falsa para todas as possíveis valoração de suas variáveis proposicionais. Isto é, independentemente do valor lógico das proposições simples que compõe a proposição composta, esta será sempre falsa, vejamos um exemplo.

“Eu sou forte e sou fraco”

A proposição é sempre falsa, independentemente de eu ser forte ou fraco.

De forma simplificada, contradição é uma proposição que é sempre falsa.

Contingência é uma proposição que não é uma tautologia nem uma contradição. Isto é, possui valores verdadeiros e valores falsos a depender dos valores das variáveis proposicionais.

Já caiu em concursos esses conceitos das seguinte maneira:

(VUNESP – 2009 – CETESB – Analista Administrativo)  Na lógica proposicional, uma tautologia é uma fórmula proposicional que

a) é falsa para todas as possíveis valorações de suas variáveis proposicionais.

b) é verdadeira para todas as possíveis valorações de suas variáveis proposicionais.

c) pode ser falsa ou verdadeira para todas as possíveis valorações de suas variáveis proposicionais.

d) é falsa para algumas das possíveis valorações de suas variáveis proposicionais.

e) é verdadeira para algumas das possíveis valorações de suas variáveis proposicionais.

Analisemos os conceitos em cada letra:

a) é falsa para todas as possíveis valorações de suas variáveis proposicionais. (CONTRADIÇÃO)

b) é verdadeira para todas as possíveis valorações de suas variáveis proposicionais. (TAUTOLOGIA)

c) pode ser falsa ou verdadeira para todas as possíveis valorações de suas variáveis proposicionais. (CONTINGÊNCIA)

d) é falsa para algumas das possíveis valorações de suas variáveis proposicionais. (CONTINGÊNCIA)

e) é verdadeira para algumas das possíveis valorações de suas variáveis proposicionais. (CONTINGÊNCIA)

Gabarito é a letra B.

1.5        Resumindo…

Você aprendeu:

O que é Proposição:

É  todo conjunto de pensamento, que possa ser classificado como verdadeiro ou falso.

Proposição Simples (ou Atômica):

Toda proposição que não tenha nenhuma outra em sua estrutura.

Proposição Composta (ou Molecular):

Toda proposição que seja formada por mais de uma proposição.

Argumento:

É o conjunto de premissas e conclusões.

Premissas:

São proposições que são verdadeiras e a partir delas é possível chegar a uma conclusão.

Conclusão:

É uma proposição, criada a partir da analise das premissas, que, com base em equivalências lógicas, são verdadeiras.

Tautologia:

É uma proposição verdadeira para todas as possíveis valoração de suas variáveis proposicionais.

Contradição:

É uma proposição falsa para todas as possíveis valoração de suas variáveis proposicionais.

Contingência:

É uma proposição que não é uma tautologia nem uma contradição.

1.6 Questões

1.   (Banco do Brasil – 2008 CESPE)  A frase “Quanto subiu o percentual de mulheres assalariadas nos últimos 10 anos?” não pode ser considerada uma proposição.

2. (CESPE – 2010 – TRT – 21ª Região (RN) – Analista Judiciário – Área Administrativa) O sustentáculo da democracia é que todos têm o direito de votar e de apresentar a sua candidatura. Mas, enganoso é o coração do homem. Falhas administrativas e maior tempo no poder andam de mãos dadas. Por isso, todos precisam ser fiscalizados. E a alternância no poder é imprescindível. Considerando o argumento citado, julgue os itens subsequentes.

A.  A afirmação “E a alternância no poder é imprescindível” é uma premissa desse argumento.

B.  A sentença “Falhas administrativas e maior tempo no poder andam de mãos dadas” é uma premissa desse argumento.

3. (VUNESP – 2009 – CETESB – Analista Administrativo)  Na lógica proposicional, uma tautologia é uma fórmula proposicional que:

a) é falsa para todas as possíveis valorações de suas variáveis proposicionais.

b) é verdadeira para todas as possíveis valorações de suas variáveis proposicionais.

c) pode ser falsa ou verdadeira para todas as possíveis valorações de suas variáveis proposicionais.

d) é falsa para algumas das possíveis valorações de suas variáveis proposicionais.

e) é verdadeira para algumas das possíveis valorações de suas variáveis proposicionais.

Gabarito:

1.7        Bibliografia:

1.   Fundamentos de Matemática Elementar – VOL. 1 – CONJUNTOS, FUNÇÕES, Gelson Iezzi e Carlos Murakami.

2.   Iniciação à Lógica Matemática, Edgar de Alencar Filho.

3.   Introdução à Lógica, Cezar A. Mortari .

Material cedido pelo Professor Auxiliar Fernando T N Medeiros